Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.

Lời giải chi tiết

Trong (ABC), gọi {I} = PR ∩ AC

Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\ \left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\\ \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\\ AC \cap PR = I \end{array} \right.\\ \Rightarrow I \in Qt \end{array}$

Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có

${{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1$$\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1$

$\Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}$ ⇒ C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :

${{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1$

$\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)$