Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Giải toán 11, giải bài tập toán 11 nâng cao, Toán 11 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 2: Hai đường thẳng song song


Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng định lí Menelaus để giải bài toán

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\({{MB} \over {MC}}.{{NC} \over {NA}}.{{PA} \over {PB}} = 1\)

Lời giải chi tiết

Trong (ABC), gọi {I} = PR ∩ AC

Ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {PQR} \right) \cap \left( {ABC} \right) = PR\\ \left( {ABC} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AC\\ \left( {PQR} \right) \cap \left( {ACD} \right) = Qt\\ AC \cap PR = I \end{array} \right.\\ \Rightarrow I \in Qt \end{array}\)

Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có

\({{PA} \over {PB}}.{{RB} \over {RC}}.{{IC} \over {IA}} = 1 \)\(\Rightarrow 1.2.{{IC} \over {IA}} = 1\)

\( \Rightarrow {{IC} \over {IA}} = {1 \over 2}\) ⇒ C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :

\({{IC} \over {IA}}.{{SA} \over {SD}}.{{QD} \over {QC}} = 1 \Rightarrow {1 \over 2}.{{SA} \over {SD}}.1 = 1 \)

\(\Rightarrow SA = 2SD\,\,\left( {dpcm} \right)\)


Cùng chủ đề:

Câu 20 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 20 trang 204 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 20 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 21 trang 23 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 21 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 21 trang 55 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 21 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 21 trang 111 SGK Hình học 11 Nâng cao
Câu 21 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 21 trang 151 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Câu 21 trang 204 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao