Câu 20 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình ${x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm.

Lời giải chi tiết

Đặt $f(x)={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0$

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty$ nên  có số $α < 0$ sao cho $f(α) < 0$.

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  + \infty$ nên có số $β > 0$ sao cho $f(β) > 0$.

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c$ liên tục trên $\mathbb R$ chứa đoạn $\left[ {\alpha ;\beta } \right]$ nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số $d \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]$ sao cho $f(d) = 0$. Đó chính là nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.