Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho dãy số (u _n ) xác định bởi

${u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3$ với mọi $n ≥ 1$

LG a

Chứng minh rằng dãy số (v _n ) xác định bởi ${v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}$ là một cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Dãy số $(v_n)$ là cấp số nhân nếu $v_{n+1}=q.v_n$ với q là số thực không đổi (công bội).

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $\displaystyle {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4}$ $\displaystyle = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}$

Thay $\displaystyle {u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}$ vào ta được:

$\displaystyle {v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) - {3 \over 4}$ $\displaystyle = \frac{1}{5}{v_n} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4}= {1 \over 5}{v_n},\forall n$

Vậy (v _n ) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  $\displaystyle q = {1 \over 5}$

LG b

Tìm $\lim u_n$.

Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát ${v_n} = {v_1}{q^{n - 1}}$ suy ra giới hạn $\lim v_n$.

Từ đó suy ra $\lim u_n$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr & {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}} \cr & \lim {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{n - 1}} = 0\Rightarrow \lim {v_n} = 0\cr &  \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - \frac{{15}}{4}} \right) = 0\cr &\Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr}$