Câu 8 trang 16 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao — Không quảng cáo

Cho các hàm số sau :

a. $y = - {\sin ^2}x$

b. $y = 3{\tan ^2}x + 1$

c. $y = \sin x\cos x$

d. $y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x$

Chứng minh rằng mỗi hàm số $y = f(x)$ đó đều có tính chất :

$f(x + kπ) = f(x)$ với $k \in\mathbb Z$, $x$ thuộc tập xác định của hàm số $f$.

LG a

$y = - {\sin ^2}x$

Lời giải chi tiết:

Với $k \in\mathbb Z$ ta có :

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = - {\sin ^2}x\\ = - \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ = \frac{{\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] - 1}}{2}\\ = \frac{{\cos \left( {2x + k2\pi } \right) - 1}}{2}\\ = \frac{{\cos 2x - 1}}{2}\\ = f\left( x \right) \end{array}$

LG b

Lời giải chi tiết:

Với $k \in\mathbb Z$ ta có :

$\eqalign{ & f\left( x \right) = 3{\tan ^2}x + 1 \cr & f\left( {x + k\pi } \right) = 3{\tan ^2}\left( {x + k\pi } \right) + 1 \cr&= 3{\tan ^2}x + 1 = f\left( x \right) \cr}$

LG c

$y = \sin x\cos x$

Lời giải chi tiết:

Với $k \in\mathbb Z$ ta có :

$f(x) = \sin x\cos x$

$\eqalign{ & f\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {x + k\pi } \right).\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&= {\left( { - 1} \right)^k}\sin x.{\left( { - 1} \right)^k}\cos x \cr & = {\left( { - 1} \right)^{2k}}\sin x\cos x\cr&= \sin x\cos x = f\left( x \right) \cr}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x\cos x\\ = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ = \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right)\\ = \frac{1}{2}\sin 2x\\=f(x) \end{array}$

LG d

$y = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x$

Lời giải chi tiết:

Với $k \in\mathbb Z$ ta có :

$\eqalign{ & f\left( x \right) = \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr & f\left( {x + k\pi } \right) \cr&= \sin \left( {x + k\pi } \right)\cos \left( {x + k\pi } \right) \cr&+ {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right) \cr &  = {\left( { - 1} \right)^k}\sin x{\left( { - 1} \right)^k}\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x \cr&= \sin x\cos x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 2x = f\left( x \right) \cr}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ = \frac{1}{2}.2\sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ \Rightarrow f\left( {x + k\pi } \right)\\ = \frac{1}{2}\sin \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right] + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left[ {2\left( {x + k\pi } \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\sin \left( {2x + k2\pi } \right) + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos \left( {2x + k2\pi } \right)\\ = \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\\ = f\left( x \right) \end{array}$