Đề kiểm tra 45 phút - Đề số 5 - Chương 1 - Hình học 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Bài 1. Tính :

a. $\left( {\cos 36^\circ  - \sin 36^\circ } \right).\left( {\cos 37^\circ  - \sin 38^\circ } \right).\left( {\cos 42^\circ  - \sin 48^\circ } \right)$

b. $\left( {\tan 52^\circ  + \cot 43^\circ } \right).\left( {\tan 29^\circ  - \cot 61^\circ } \right).\left( {\tan 13^\circ  - \tan 24^\circ } \right)$

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB = 6cm, BC = 10cm$, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H lần lượt lên AB, AC.

a. Tính EF

b. Chứng minh rằng : $AE.AB = AF.AC$

c. Tính : $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C$

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ trung điểm E của cạnh AC, vẽ EF vuông góc với BC.

a. Chứng minh rằng : $AF = BE.\cos C$.

b. Cho $BC = 20cm; \sin C = 0,6$. Tính ${S_{AEFB}}$

LG bài 1

Phương pháp giải:

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia

Lời giải chi tiết:

a. Ta có: $\cos 42^\circ  = \sin 48^\circ$ (vì là hai góc phụ nhau)

$⇒ \cos42^o - \sin48^o = 0$

Do đó: $\left( {\cos 36^\circ  - \sin 36^\circ } \right).\left( {\cos 37^\circ  - \sin 38^\circ } \right).\left( {\cos 42^\circ  - \sin 48^\circ } \right) = 0$

b. Ta có: $\tan 29^\circ  = \cot 61^\circ$$\;\Rightarrow \tan 29^\circ  - \cot 61^\circ  = 0$

Do đó: $\left( {\tan 52^\circ  + \cot 43^\circ } \right).\left( {\tan 29^\circ  - \cot 61^\circ } \right).\left( {\tan 13^\circ  - \tan 24^\circ } \right) = 0$

LG bài 2

Phương pháp giải:

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) $A{B^2} = BH.BC$ và $A{C^2} = CH.BC$

+) $H{A^2} = HB.HC$

+) $AB.AC = BC.AH$

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (Định lí Pitago).

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}};\cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

Lời giải chi tiết:

a. Ta có: $∆ABC$ vuông tại A:

$AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\,\left( {cm} \right)$

Lại có AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên:

$AH.BC = AB.AC$ (định lí 3)

$\Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{6.8} \over {10}} = 4,8\,\left( {cm} \right)$

Lại có tứ giác AFHE là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) nên $EF = AH = 4,8 \;(cm)$

b. Xét tam giác vuông AHB có đường cao HE, ta có:

$A{H^2} = AE.AB$ (định lí 1)   (1)

Xét tam giác vuông AHC có đường cao HF, ta có:

$A{H^2} = AF.AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $AE.AB = AF.AC$

c. Ta có:

$\eqalign{  & \sin B = {{AC} \over {BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = {{A{C^2}} \over {B{C^2}}}  \cr  & \sin C = {{AB} \over {BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = {{A{B^2}} \over {B{C^2}}}  \cr  & \tan B = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow \tan C = {{AB} \over {AC}} \cr}$

Vậy $\eqalign{   A &= {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C  \cr  &  = {{A{C^2}} \over {B{C^2}}} + {{A{B^2}} \over {B{C^2}}} - {{AC} \over {AB}}.{{AB} \over {AC}} \cr&= {{A{C^2} + A{B^2}} \over {B{C^2}}} - 1 \cr}$

$\;\;\;\;\; = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} - 1$ (định lí Pi-ta-go)

$\;\;\;\;\;=1 – 1 = 0$

LG bài 3

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và định lý Pytago

Lời giải chi tiết:

a. Ta có: ∆BAC đồng dạng ∆EFC (g.g) $\Rightarrow {{AC} \over {BC}} = {{FC} \over {EC}}$ (1)

Xét ∆AFC và ∆BEC có $\widehat C$ chung và (1)

Do đó ∆AFC đồng dạng ∆BEC (c.g.c)

$\eqalign{  &  \Rightarrow {{AF} \over {BE}} = {{AC} \over {BC}} = \cos C  \cr  &  \Rightarrow AF = BE.\cos C\,\left( {dpcm} \right) \cr}$

b. Ta có: ${S_{AEFB}} = {S_{ABC}} - {S_{EFC}}$

Ta có: $\sin C = 0,6 \Rightarrow \widehat C \approx 36^\circ 52'$

∆ABC vuông tại A nên $AB = BC.sinC = 20.0,6 = 12\; (cm)$

Tương tự: $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{20}^2} - {{12}^2}}  = 16\,\left( {cm} \right)$

Do đó: ${S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}12.16 = 96\,\left( {c{m^2}} \right)$

∆BAC và ∆EFC đồng dạng (cmt), ta có:

$\eqalign{  & {{{S_{EFC}}} \over {{S_{BAC}}}} = {\left( {{{EC} \over {BC}}} \right)^2} = {\left( {{8 \over {20}}} \right)^2} = {{64} \over {400}}  \cr  &  \Rightarrow {S_{EFC}} = {{{S_{ABC}}.64} \over {400}} = {{96.64} \over {400}} \approx 15,36\,\left( {c{m^2}} \right)  \cr  & \text{Vậy }\,{S_{AEFB}} = 96 - 15,36 = 80,64\,\left( {c{m^2}} \right) \cr}$