Đề số 3 - Đề kiểm tra học kì 1 - Toán 9 — Không quảng cáo

Đề bài

Bài 1: (1,5 điểm) Tính:

a)$4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}}  - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}$

b)$\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}}$.

Bài 2: (1,5 điểm)

a)Giải phương trình sau: $\sqrt {36{x^2} - 12x + 1}  = 2$.

b) Rút gọn: $A = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}$ ( với $x > 0,x \ne 1$).

Bài 3: (2 điểm)

a)Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm $x$ (m). Gọi $S,P$ theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo $x$. Hỏi các đại lương $S,P$ có phải là hàm số bậc nhất của $x$ không? Vì sao? Tính giá trị của $x$ khi biết giá trị tương ứng của $P$ là 144 (tính theo đơn vị m).

b) Cho hàm số $y =  - 2x + 3$ có đồ thị $\left( {{d_1}} \right)$và hàm số $y = x$ có đồ thị là $\left( {{d_2}} \right)$. Vẽ $\left( {{d_1}} \right)$và $\left( {{d_2}} \right)$ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$và $\left( {{d_2}} \right)$ bằng phép tính.

Bài 4: (2 điểm)

a) Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB . Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng $AC = 30m$, rồi vạch  $CD$ vuông góc với phương BC cắt AB tại D . Do$AD = 20m$, từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B . Em hãy tính độ dài AB và số đo góc $\angle ACB$.

b) Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lên 20% muối

Bài 5: (3 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ( B, C là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh rằng: $OA \bot BC$.

b) Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ( D nằm giữa O và A). Chứng minh rằng $OH.HA = HD.HE$.

c)Chứng minh rằng $2HD.AB = DA.BC$.

LG bài 1

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}a)\;4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}}  - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} \\= 4\sqrt {{2^2}.3}  - \dfrac{{15}}{{\sqrt 3 }} - \dfrac{{\sqrt 3 \left( {3\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\sqrt 3 }}\\ = 8\sqrt 3  - 5\sqrt 3  - 3\sqrt 3  + 1 = 1.\end{array}$

Vậy $4\sqrt {12}  - 15\sqrt {\dfrac{1}{3}}  - \dfrac{{9 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 1$.

$\begin{array}{l}b)\;\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}}  = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| - \sqrt {\dfrac{{16}}{{14 - 6\sqrt 5 }}} \\ = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{{\sqrt {16} }}{{\sqrt {14 - 6\sqrt 5 } }}\;\;\;\left( {do\;\;2 - \sqrt 5  < 0} \right)\\ = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5  + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} }} = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{4}{{\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\\ = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{4}{{\left| {3 - \sqrt 5 } \right|}} = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{4}{{3 - \sqrt 5 }}\;\;\left( {do\;\;3 - \sqrt 5  > 0} \right)\\ = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \sqrt 5  - 2 - \dfrac{{4\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4}\\ = \sqrt 5  - 2 - 3 - \sqrt 5  =  - 5.\end{array}$

Vậy $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}  - \sqrt {\dfrac{8}{{7 - 3\sqrt 5 }}}  =  - 5$

LG bài 2

Lời giải chi tiết:

a)Giải phương trình sau: $\sqrt {36{x^2} - 12x + 1}  = 2$ .

ĐKXĐ: $36{x^2} - 12x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {6x - 1} \right)^2} \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$)

$\begin{array}{l}\sqrt {36{x^2} - 12x + 1}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {6x - 1} \right)}^2}}  = 2\\ \Leftrightarrow \left| {6x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x - 1 = 2\\6x - 1 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = 3\\6x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x =  - \dfrac{1}{6}\end{array} \right..\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:$x =  - \dfrac{1}{6},x = \dfrac{1}{2}$

b)Rút gọn: $A = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }}$ (với $x > 0,x \ne 1$ ).

ĐKXĐ: $x > 0,x \ne 1$ . Với điều kiện trên ta có:

$\begin{array}{l}A = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{x - \left( {2\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x  - 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 1}} = \sqrt x  - 1.\end{array}$

Vậy $A = \dfrac{x}{{\sqrt x  - 1}} - \dfrac{{2x - \sqrt x }}{{x - \sqrt x }} = \sqrt x  - 1$

LG bài 3

Lời giải chi tiết:

a)Một khu vườn hình chữ nhật có kích thước là 25m và 40m. Người ta tăng mỗi kích thước của khu vườn thêm $x$ (m). Gọi $S,P$ theo thứ tự là diện tích và chu vi của khu vườn mới tính theo $x$ . Hỏi các đại lương $S,P$ có phải là hàm số bậc nhất của $x$ không? Vì sao? Tính giá trị của $x$ khi biết giá trị tương ứng của $P$ là 144 (tính theo đơn vị m).

Ta có:

+) Chiều dài của khu vườn sau khi tăng thêm $x$ (m) là: $40 + x\;\;\left( m \right)$

+) Chiều rộng của khu vườn sau khi tăng thêm $x$ (m) là: $25 + x\;\;\left( m \right)$

Suy ra diện tích và chu vi của hình chữ nhật mới là:

+) Diện tích $S = \left( {40 + x} \right)\left( {25 + x} \right) = {x^2} + 65x + 1000$.

Đây là hàm bậc hai vì có số  mũ cao nhất gắn với biến $x$ là 2.

+) Chu vi $P = 2.\left[ {\left( {x + 40} \right) + \left( {x + 25} \right)} \right] = 4x + 130$.

Đây là hàm số bậc nhất bởi số mũ cao nhất gắn với biến $x$ là 1.

Theo đề bài ta có: $P = 144 \Rightarrow 4x + 130 = 144 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}$.

Vậy giá trị của $x$ là: $x = \dfrac{7}{2}$.

b)Cho hàm số $y =  - 2x + 3$ có đồ thị $\left( {{d_1}} \right)$ và hàm số $y = x$ có đồ thị là $\left( {{d_2}} \right)$ . Vẽ $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ bằng phép tính.

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số ${d_1}:\;\;y =  - 2x + 3$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0;\;3} \right),\;\;\left( {1;\;1} \right)$  và đồ thị hàm số ${d_2}:\;\;y = x$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0;\;0} \right),\;\;\left( {1;\;1} \right).$.

Từ đó ta có đồ thị của hai hàm số trên:

Hoành độ giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$và $\left( {{d_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình:

$- 2x + 3 = x \Leftrightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1$

Với $x = 1 \Rightarrow y = x = 1$. Vậy giao điểm của $\left( {{d_1}} \right)$và $\left( {{d_2}} \right)$ là điểm $M\left( {1;1} \right)$.

LG bài 4

Lời giải chi tiết:

a)Muốn tính khoảng cách từ điểm A đến điểm B bên kia bờ sông, ông Việt vạch từ A đường vuông góc với AB . Trên đường vuông góc này lấy một đoạn thẳng $AC = 30m$ , rồi vạch $CD$ vuông góc với phương BC cắt AB tại D . Do $AD = 20m$ , từ đó ông Việt tính được khoảng cách từ A đến B . Em hãy tính độ dài AB và số đo góc $\angle ACB$ .

Ta có hình vẽ minh họa:

Xét tam giác vuông BCD vuông tại C có AC là đường cao ta có:

$\Rightarrow AB.AD = A{C^2} \Leftrightarrow AB = \dfrac{{A{C^2}}}{{AD}} = 45\left( m \right)$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét tam giác BAC vuông tại A có:

$\tan \left( {\angle ACB} \right) = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{45}}{{30}} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \angle ACB = \arctan \dfrac{3}{2} \approx {56^o}$.

b)Có 150g dung dịch chứa 40g muối. Ta phải pha thêm bao nhiêu nước nữa để dung dịch có tỉ lệ 20% muối.

Gọi lượng nước cần cho thêm vào dung dịch là $x\;\;\left( g \right),\;\;\left( {x > 0} \right).$

Suy ra khối lượng dung dịch sau khi thêm nước là: $150 + x\;\;\left( g \right).$

Theo đề bài: sau khi thêm $x$ (g) nước vào dung dịch thì sẽ được dung dịch mới có tỉ lệ 20% muối. Từ đó ta có phương trình:

$\dfrac{{40}}{{150 + x}} = \dfrac{{20}}{{100}} \Leftrightarrow 200 = 150 + x \Leftrightarrow x = 50\left( g \right)\;\;\left( {tm} \right)$

Vậy cần thêm vào dung dịch 50 (g) nước.

LG bài 5

Lời giải chi tiết:

Bài 5:Cho điểm A nằm ngoài đường tròn $\left( {O;R} \right)$ , vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ ( B, C là tiếp điểm), gọi H là giao điểm của OA và BC.

a)Chứng minh rằng: $OA \bot BC$ .

Xét đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có $OB = OC$ (do cùng là bán kính)

Suy ra O cách đều hai điểm B , C , suy ra O nằm trên đoạn trung trực của BC .          (1)

Xét đường tròn $\left( {O;R} \right)$có: AB , AC là tiếp tuyến ( A , B là tiếp điểm)

Suy ra $AB = AC$ ( tính chất tiếp tuyến )

Suy ra A cách đều hai điểm B , C , suy ra A nằm trên trung trực của BC .                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là trung trực của BC , suy ra $OA \bot BC$.

b)Gọi D, E là giao điểm của OA với đường tròn $\left( {O;R} \right)$ (D nằm giữa O và A)

Chứng minh rằng $OH.HA = HD.HE$ .

Xét $\left( {O;R} \right)$ có AB là tiếp tuyến ( B là tiếp điểm)

$\Rightarrow AB \bot OB$ (tính chất tiếp tuyến)

Xét tam giác vuông $OBA$ vuông tại B có BH là đường cao

$\Rightarrow OH.HA = B{H^2}$( hệ thức lượng trong tam giác vuông)                                     (3)

Xét $\left( {O;R} \right)$có $\angle EBD$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \angle EBD = {90^o}$

Xét tam giác EBD vuông tại B có BH là đường cao

$\Rightarrow EH.HD = B{H^2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)                                      (4)

Từ (3), (4) $\Rightarrow OH.HA = HD.HE$ (đpcm).

c)Chứng minh rằng $2HD.AB = DA.BC$ .

Có D nằm trên đường trung trực của BC ( D nằm trên OA )

Suy ra $BD = BC$ (tính chất đường trung trực), suy ra cung BD bằng cung DC (hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau)

Xet đường tròn $\left( {O;R} \right)$có:

+) $\angle CBD$ là góc nội tiếp chắn cung DC

+) $\angle DBA$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung BD

+) Cung BD và cung DC bằng nhau (cmt)

$\Rightarrow \angle CBD = \angle DBA \Rightarrow BD$là phân giác $\angle HBA$

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác HBA có: $\dfrac{{HD}}{{DA}} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow HD.AB = DA.BH$

Mà có: $BH = \dfrac{1}{2}BC$ (do H là trung điểm của BC )

$\Rightarrow HD.AB = DA.\dfrac{{BC}}{2} \Leftrightarrow 2HD.AB = DA.BC$ (đpcm)