Giải bài 1. 17 trang 17, 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = 2 + \,3\,|\cos x\,|$;

b) $y = 2\sqrt {\sin x}  + 1$;

c)$y = 3{\cos ^2}x + 4\cos 2x$;

d) $y = \sin x + \cos x$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $0 \le \,|\cos x\,|\, \le \,1$ nên $0 \le \,3\,|\cos x\,|\, \le \,3$, do đó$2 \le \,2 + 3\,|\cos x\,|\, \le \,5\,\forall  \in \mathbb{R}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

$|\cos x\,|\, = 1 \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})$

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,(k \in \mathbb{Z})$.

b) Điều kiện $\sin x \ge 0$. Vì $0 \le \sin x \le 1$ hay $0 \le \sqrt {\sin x}  \le 1$ nên $0 \le 2\sqrt {\sin x}  \le 2$, do đó $1 \le 1 + 2\sqrt {\sin x}  \le 3$ với mọi x thỏa mãn $0 \le \sin x \le 1$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi $\sin x = 1$ hay

$x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\sin x = 0$ hay $x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$.

c) Ta có $y = {\cos ^2}x + 4\cos 2x = 3.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 4\cos 2x = \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x.$

Vì $- 1 \le \cos 2x \le 1$ nên $- \frac{{11}}{2} \le \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{{11}}{2}$,

Do đó $- 4 = \frac{3}{2} - \frac{{11}}{2} \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2}\cos 2x \le \frac{3}{2} + \frac{{11}}{2} = 7$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

$\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi  \Leftrightarrow x = k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -4 đạt được khi

$\cos 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z})$.

d) Ta có $y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).$

Vì $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ nên $- \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt 2$, đạt được khi

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi .$

Và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt 2$, đạt được khi

$\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Rightarrow x =  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi .$