Giải bài 1. 18 trang 15 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Hai nguồn nhiệt đặt cách nhau $s$ mét, một nguồn có cường độ $a$ đặt ở điểm A và một nguồn có cường độ $b$ đặt ở điểm B. Cường độ nhiệt tại điểm P nằm trên đoạn thẳng nối A và B được tính theo công thức

$I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}},$

Trong đó $x$ (m) là khoảng cách giữa P và A. Tại điểm nào giữa A và B, nhiệt độ sẽ thấp nhất?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $I = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {s - x} \right)}^2}}},{\rm{ }}0 \le x \le s$. Ta cần tìm $x$ để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: $I' =  - \frac{{2a}}{{{x^3}}} + \frac{{2b}}{{{{\left( {s - x} \right)}^3}}} = \frac{{2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right]}}{{{x^3}{{\left( {s - x} \right)}^3}}},{\rm{ }}0 \le x \le s$

Khi đó $I' = 0 \Leftrightarrow \frac{{2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right]}}{{{x^3}{{\left( {s - x} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 2\left[ {b{x^3} - a{{\left( {s - x} \right)}^3}} \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{s - x}} = \frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} \Leftrightarrow x = \frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$.

Vậy tại điểm P trên đoạn AB các A một khoảng $PA = x = \frac{{s\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}}$(m) thì nhiệt độ thấp nhất.