Giải bài 1. 13 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y =  - {x^3} + 3{x^2} + 2$;

b) $y = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2}}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y' =  - 3{x^2} + 6x$. Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y' = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 2} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$.

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - \sqrt 2$ hoặc $x = \sqrt 2$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{4}$; $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.