Giải bài 1. 11 trang 14 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Sử dụng đồ thị dưới đây, xác định xem hàm số $y = f\left( x \right)$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hay cực trị tại mỗi điểm ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5},{x_6},{x_7},{x_8}$ hay không.

Lời giải chi tiết

Ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\left[ {{x_1};{x_8}} \right]$. Từ đồ thị ta có:

+ $f\left( x \right) \le f\left( {{x_8}} \right)$ với mọi $x \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và ${x_8} \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {{x_8}} \right)$. Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm ${x_8}$.

+ $f\left( x \right) \ge f\left( {{x_7}} \right)$ với mọi $x \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và ${x_7} \in \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right) = f\left( {{x_7}} \right)$. Do đó hàm số

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm ${x_7}$.

Ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {{x_1};{x_8}} \right]$.

+ Gọi ${h_1} = \frac{{{x_5} - {x_4}}}{2}$ , ta thấy ${h_1}$ dương. Vì $f\left( x \right) > f\left( {{x_4}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_4} - {h_1};{x_4} + {h_1}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và $x \ne {x_4}$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_4}$.

+ Tương tự, gọi ${h_2} = \frac{{{x_8} - {x_7}}}{2}$ , ta thấy ${h_2}$ dương. Vì $f\left( x \right) > f\left( {{x_7}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_7} - {h_2};{x_7} + {h_2}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và $x \ne {x_7}$ nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm ${x_7}$.

+ Gọi ${h_3} = \frac{{{x_6} - {x_5}}}{2}$ , ta thấy ${h_3}$ dương. Vì $f\left( x \right) < f\left( {{x_6}} \right)$ với mọi $x \in \left( {{x_6} - {h_3};{x_6} + {h_3}} \right) \subset \left[ {{x_1};{x_8}} \right]$ và $x \ne {x_6}$ nên hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_6}$.