Giải bài 1. 6 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}$ không có đạo hàm tại $x = 0$ nhưng có cực tiểu tại điểm $x = 0$.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $\mathbb{R}$

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} =  - \infty;$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} =  + \infty.$

Suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}  = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ do đó hàm số $f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}$ không có đạo hàm tại $x = 0$.

Ta có hàm số $f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = 0$.

Mà $f\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0$ suy ra $f\left( x \right) > f\left( 0 \right){\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0$, do đó hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại $x = 0$.