Giải bài 1. 3 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = x + \frac{1}{x}$;

b) $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Ta có $y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}$. Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = 1$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x =  - 1$ và ${y_{CĐ}} = y\left( -1 \right) = -2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2$.

b) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y' = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$.

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = 1$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và ${y_{CĐ}} = y\left( { - 1} \right) =  \frac{1}{2}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  - 1$ và ${y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}$.