Giải bài 1. 4 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = {x^4} - 2{x^2} + 3$;

b) $y = {x^2}\ln x$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y' = 4{x^3} - 4x$. Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x =  - 1$ hoặc $x = 0$ hoặc $x = 1$.

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${y_{CĐ}} = y\left( { 0} \right) = 3$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x =  - 1$ và ${y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = 2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2$.

b) Tập xác định: $\left( {0; + \infty } \right)$

Ta có $y' = 2x\ln x + x$. Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow \ln x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}; + \infty } \right)$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = {e^{ - \frac{1}{2}}}$ và ${y_{CT}} = y\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) =  - \frac{1}{{2e}}$.