Giải bài 1. 5 trang 9 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số $y = {x^3} + m{x^2} + 3x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết

Tập xác định: $\mathbb{R}$

Ta có $y' = 3{x^2} + 2mx + 3$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $y' = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm trong $\mathbb{R}$. Khi đó điều kiện trên tương đương với $\Delta  \le 0$ (do $y'$ là tam thức bậc hai có hệ số $a = 3 > 0$).

Ta có $\Delta  = 4{m^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} - 9 \le 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 3;3} \right].$

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $m \in \left[ { - 3;3} \right]$.