Giải bài 1. 30 trang 25 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số:

$L\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right)$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Lời giải chi tiết

Vì $- 1 \le \sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1$ nên $- 2,83 \le 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 2,83$

Do đó, $9,17 = 12 - 2,83 \le 12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 12 + 2,83 = 12,83\;\forall t \in \mathbb{R}$

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng nhất ứng với $\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = \frac{{ - 45}}{4} + 365k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $0 < t \le 365$ nên $k = 1,$ suy ra $t = \frac{{ - 45}}{4} + 365 = 353,75.$ Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng nhất ứng với $\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow t = \frac{{45}}{4} + 365k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $0 < t \le 365$ nên $k = 0,$ suy ra $t = 171,25.$ Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

$12 + 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 10 \Leftrightarrow 2,83\sin \left( {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right) = \frac{{ - 200}}{{283}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) \approx  - 0,78 + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) \approx 3,938 + k2\pi \end{array} \right.$

Từ đó ta được $\left[ \begin{array}{l}t \approx 34,69 + 365k\\t \approx 308,3 + 365k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $0 < t \le 365$ nên $k = 0,$ suy ra $t \approx 34,69$ hoặc $t \approx 308,30.$ Như vậy, vào ngày thứ 34 của năm, tức là khoảng ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời.