Giải bài 1 trang 110, 111 vở thực hành Toán 9 tập 2 — Không quảng cáo

Giải vth Toán 9, soạn vở thực hành Toán 9 KNTT Bài tập cuối chương IX trang 110, 111, 112 Vở thực hành


Giải bài 1 trang 110, 111 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I; b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Đề bài

Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;

b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(IE = IF = IH = IA\), suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).

b) + Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB). Nên \(\widehat {AEF} = {180^o} - \widehat {FEC} = \widehat {FBC} = \widehat {ABC}\).

+ Chứng minh \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF} = \widehat {HAB} = {90^o} - \widehat {ABC}\), \(\widehat {MFC} = \widehat {FCM}\),

suy ra \(\widehat {MFI} = \widehat {MFC} + \widehat {CFI}\)

\(= \widehat {MFC} + \left( {{{90}^o} - \widehat {IFA}} \right) \\= \left( {{{90}^o} - \widehat {ABC}} \right) + \widehat {ABC} = {90^o}\)

+ Do đó, \(MF \bot IF\) nên MF tiếp xúc với (I, IA).

+ Chứng minh tương tự ta có: ME tiếp xúc với (I, IA).

Lời giải chi tiết

a) Do hai tam giác AEH và AFH vuông tại E và F nên \(IE = IF = IH = IA\). Vì vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).

b) Tương tự như trên, tứ giác BCEF có \(\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}\) nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB).

Suy ra \(\widehat {AEF} = {180^o} - \widehat {FEC} = \widehat {FBC} = \widehat {ABC}\).

Vì \(\Delta IFA\) cân tại I nên \(\widehat {IFA} = \widehat {IAF} = \widehat {HAB} = {90^o} - \widehat {ABC}\). (1)

Mặt khác, ta có \(MF = MC\), hay \(\Delta MFC\) cân tại M. Suy ra \(\widehat {MFC} = \widehat {FCM}\) (2)

Vì vậy ta có:

\(\widehat {MFI} = \widehat {MFC} + \widehat {CFI} \\= \widehat {MFC} + \left( {{{90}^o} - \widehat {IFA}} \right) \\= \left( {{{90}^o} - \widehat {ABC}} \right) + \widehat {ABC} \)

\(= {90^o}\) (theo (1) và (2)).

Do đó, \(MF \bot IF\). Suy ra MF tiếp xúc với (I, IA). Tương tự ME tiếp xúc với (I, IA).


Cùng chủ đề:

Giải bài 1 trang 102 vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 103 vở thực hành Toán 9 tập 2
Giải bài 1 trang 105, 106 vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 106 vở thực hành Toán 9 tập 2
Giải bài 1 trang 107 vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 110, 111 vở thực hành Toán 9 tập 2
Giải bài 1 trang 113 vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 115 vở thực hành Toán 9 tập 2
Giải bài 1 trang 117 vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 119 vở thực hành Toán 9
Giải bài 1 trang 120 vở thực hành Toán 9 tập 2