Giải bài 1 trang 110, 111 vở thực hành Toán 9 tập 2
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I; b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Đề bài
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I;
b) ME, MF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh IE=IF=IH=IA, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).
b) + Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB). Nên ^AEF=180o−^FEC=^FBC=^ABC.
+ Chứng minh ^IFA=^IAF=^HAB=90o−^ABC, ^MFC=^FCM,
suy ra ^MFI=^MFC+^CFI
=^MFC+(90o−^IFA)=(90o−^ABC)+^ABC=90o
+ Do đó, MF⊥IF nên MF tiếp xúc với (I, IA).
+ Chứng minh tương tự ta có: ME tiếp xúc với (I, IA).
Lời giải chi tiết
a) Do hai tam giác AEH và AFH vuông tại E và F nên IE=IF=IH=IA. Vì vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (I, IA).
b) Tương tự như trên, tứ giác BCEF có ^BFC=^BEC=90o nên tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn (M, MB).
Suy ra ^AEF=180o−^FEC=^FBC=^ABC.
Vì ΔIFA cân tại I nên ^IFA=^IAF=^HAB=90o−^ABC. (1)
Mặt khác, ta có MF=MC, hay ΔMFC cân tại M. Suy ra ^MFC=^FCM (2)
Vì vậy ta có:
^MFI=^MFC+^CFI=^MFC+(90o−^IFA)=(90o−^ABC)+^ABC
=90o (theo (1) và (2)).
Do đó, MF⊥IF. Suy ra MF tiếp xúc với (I, IA). Tương tự ME tiếp xúc với (I, IA).