Giải bài 1 trang 14 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, nếu:

a) $\sin \alpha  =  - \frac{4}{5}$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$;

b) $\cos \alpha  = \frac{{11}}{{61}}$ và $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$;

c) $\tan \alpha  =  - \frac{{15}}{8}$ và $- {90^0} < \alpha  < {90^0}$;

d) $\cot \alpha  =  - 2,4$ và $- {180^0} < \alpha  < {0^0}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha$ $= 1 \Rightarrow \cos \alpha$ $=  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }$ $=  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)}^2}}$ $=  \pm \frac{3}{5}$

Mà $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$ nên $\cos \alpha  < 0$.

Do đó, $\cos \alpha$ $=  - \frac{3}{5}$, $\tan \alpha$ $= \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $= \frac{{\frac{{ - 4}}{5}}}{{\frac{{ - 3}}{5}}}$ $= \frac{4}{3},\cot \alpha$ $= \frac{1}{{\tan \alpha }}$ $= \frac{3}{4}$

b) Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha$ $= 1 \Rightarrow \sin \alpha$ $=  \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }$ $=  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)}^2}}$ $=  \pm \frac{{60}}{{61}}$

Mà $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha  > 0$.

Do đó, $\sin \alpha$ $= \frac{{60}}{{61}}$, $\tan \alpha$ $= \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$ $= \frac{{\frac{{60}}{{61}}}}{{\frac{{11}}{{61}}}}$ $= \frac{{60}}{{11}},\cot \alpha$ $= \frac{1}{{\tan \alpha }}$ $= \frac{{11}}{{60}}$

c) Ta có: $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ $= 1 + {\tan ^2}\alpha$ $= 1 + {\left( {\frac{{ - 15}}{8}} \right)^2}$ $= \frac{{289}}{{64}} \Rightarrow \frac{1}{{\cos \alpha }}$ $=  \pm \frac{{17}}{8}$

Mà $- {90^0} < \alpha  < {90^0}$ nên $\cos \alpha  > 0,\sin \alpha  < 0$.

Do đó, $\cos \alpha$ $= \frac{8}{{17}},\cot \alpha$ $= \frac{1}{{\tan \alpha }}$ $= \frac{{ - 8}}{{15}},\sin \alpha$ $= \tan \alpha .\cos \alpha$ $= \frac{{ - 15}}{{17}}$.

d) Ta có: $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ $= 1 + {\cot ^2}\alpha$ $= 1 + {\left( { - 2,4} \right)^2}$ $= \frac{{169}}{{25}} \Rightarrow \frac{1}{{\sin \alpha }}$ $=  \pm \frac{{13}}{5}$

Mà $- {180^0} < \alpha  < {0^0}$ nên $\cos \alpha  > 0,\sin \alpha  < 0$.

Do đó, $\sin \alpha$ $=  - \frac{5}{{13}},\tan \alpha$ $= \frac{1}{{\cot \alpha }}$ $= \frac{{ - 5}}{{12}},\cos \alpha$ $= \cot \alpha .\sin \alpha$ $= \frac{{12}}{{13}}$.