Giải bài 1 trang 20 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số $y = 3x\left( {2 - x} \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x =  - 1,x = 1$.

b) Đồ thị của hàm số $y = \frac{{4 - x}}{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 1,x = 2$.

c) Đồ thị của hàm số $y = {x^3} - {x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 2$.

Lời giải chi tiết

a) $S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3x\left( {2 - x} \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx}$

$3x\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$ (loại)

$\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx}  + \int\limits_0^1 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx}  = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( {3{{\rm{x}}^2} - {{\rm{x}}^3}} \right)} \right|_{ - 1}^2} \right| + \left| {\left. {\left( {3{{\rm{x}}^2} - {{\rm{x}}^3}} \right)} \right|_0^1} \right| = 4 + 2 = 6\end{array}$

b) Vì $\frac{{4 - x}}{x} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]$ nên ta có:

$S = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{4 - x}}{x}} \right|dx}  = \int\limits_1^2 {\frac{{4 - x}}{x}dx}  = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{4}{x} - 1} \right)dx}  = \left. {\left( {4\ln {\rm{x}} - x} \right)} \right|_1^2 = 4\ln 2 - 1$.

c) $S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx}$

${x^3} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$

$\begin{array}{l}S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx}  = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2} \right| = \frac{1}{{12}} + \frac{{17}}{{12}} = \frac{3}{2}\end{array}$