Giải bài 1 trang 28 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(−4;2),B(−4;5) và C(−1;3).
Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(−4;2),B(−4;5) và C(−1;3).
a) Chứng minh các điểm A′(2;4),B′(5;4) và C′(3;1) theo thứ tự là ảnh của A, B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.
b) Gọi ΔA1B1C1 là ảnh của ∆ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện phép quay tâm O với góc quay –90° và phép đối xứng qua Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của ΔA1B1C1.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong mặt phẳng, cho điểm O cố định và góc lượng giác φ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM=OM′ và góc lượng giác (OM,OM′)=φ được gọi là phép quay tâm O với góc quay φ, kí hiệu Q(O,φ). O gọi là tâm quay, φ gọi là góc quay.
Phép quay tâm O, góc -90 0 : Khi đó: {x′=yy′=−x
Lời giải chi tiết
a)
Với ta có →OA=(−4;2),→OA′=(2;4),→AA′=(6;2)
Do đó OA=OA′=2√5 và AA′=2√10
Suy ra cos^AOA′=OA2+OA′2−AA′22.OA.OA′=(2√5)2+(2√5)2−(2√10)22.2√5.2√5=0
Do đó ^AOA′=90∘
Mà khi quay đoạn OA (với tâm O) theo hướng cùng chiều kim đồng hồ một góc 90° thì ta được đoạn OA’. Tức là, phép quay có góc quay lượng giác theo chiều âm một góc 90°.
Vì vậy góc lượng giác (OA,OA′)=−90∘.
Vậy A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O với góc quay –90°.
Chứng minh tương tự, ta thu được B’, C’ theo thứ tự là ảnh của B, C qua phép quay tâm O với góc quay –90°.
b) Từ câu a, ta có phép quay tâm O, góc quay –90° biến ∆ABC thành ∆A’B’C’.
Ta có: ΔA1B1C1 là ảnh của ∆A’B’C’ qua phép đối xứng trục Ox nên:
• A1=ĐOx(A′), do đó hai điểm A 1 và A’(2; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra A 1 (2; –4).
• B1=ĐOx(B′), do đó hai điểm B 1 và B’(5; 4) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra B 1 (5; –4).
• C1=ĐOx(C′),do đó hai điểm C 1 và C’(3; 1) có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau, suy ra C 1 (3; –1).
Vậy tọa độ các đỉnh của ∆A 1 B 1 C 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán là A1(2;−4),B1(5;−4),C1(3;−1).
