Giải bài 1 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 2;0} \right)$

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$

c) Tâm sai bằng $\frac{{\sqrt 5 }}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  Độ dài trục lớn  $2a = 6 \Rightarrow a = 3$ và tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 2;0} \right)$ nên $c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5$

Vậy elip (E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1$

b) Ta có:  Tiêu cự $2c = 12 \Rightarrow c = 6$

Tâm sai bằng $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow a = 10$

$\Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8$

Vậy elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

c) Tâm sai bằng $e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Rightarrow \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{5}{9}$

$\Rightarrow 9{a^2} - 9{b^2} = 5{a^2} \Rightarrow 4{a^2} = 9{b^2} \Rightarrow 2a = 3b$

Với chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20 nên $2\left( {2a + 2b} \right) = 20 \Rightarrow a + b = 5$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3b\\a + b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.$

Vậy elip (E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$