Giải bài 1 trang 66 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh \(A\left( { - 4;3} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {4; - 3} \right),D\left( { - 4; - 3} \right).\)
Đề bài
Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh \(A\left( { - 4;3} \right),B\left( {4;3} \right),C\left( {4; - 3} \right),D\left( { - 4; - 3} \right).\)
a) Viết phương trình chính tắc của elip nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở. Vẽ elip đó
b) Viết phương trình chính tắc của hypebol nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở. Vẽ hypebol đó
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét Elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), trong đó \(a > b > 0\) . Khi đó ta có:
+ Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S\left( { - a; - b} \right)\)
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh \(P\left( { - a;b} \right),Q\left( {a;b} \right),R\left( {a; - b} \right),S - \left( {a;b} \right).\)
Lời giải chi tiết
a) Elip nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở nên \(a = 4,b = 3\)
Phương trình chính tắc của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Để vẽ elip (E), ta có thể làm như sau:
Bước 1: Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn thường thẳng \(x = - 4,x = 4,y = - 3,y = 3\)
Bước 2: Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn, ta thấy điểm \(M\left( {\frac{{12}}{5};\frac{{12}}{5}} \right)\) và điểm \(N\left( {\frac{{16}}{5};\frac{9}{5}} \right)\) thuộc (E) và điểm \({M_1}\left( {\frac{{12}}{5}; - \frac{{12}}{5}} \right),{M_2}\left( { - \frac{{12}}{5};\frac{{12}}{5}} \right),{M_3}\left( { - \frac{{12}}{5}; - \frac{{12}}{5}} \right),{N_1}\left( {\frac{{16}}{5}; - \frac{9}{5}} \right),{N_3}\left( { - \frac{{16}}{5};\frac{9}{5}} \right),{N_3}\left( { - \frac{{16}}{5}; - \frac{9}{5}} \right)\) thuộc (E)
Bước 3: Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn điểm của đỉnh (E) là \({A_1}\left( { - 4;0} \right),{A_1}\left( {4;0} \right),{A_3}\left( {0; - 3} \right),{A_4}\left( {0;3} \right)\)
b) Hypebol nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở nên \(a = 4,b = 3\)
Phương trình chính tắc của hypebol là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)
Để vẽ hypebol (H), ta có thể làm như sau:
Bước 1: Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn thường thẳng \(x = - 4,x = 4,y = - 3,y = 3\)
Bước 2: Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở
Tìm một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn, ta thấy điểm \(M\left( {\frac{{20}}{3};4} \right)\) thuộc (H) và điểm \({M_1}\left( {\frac{{20}}{3}; - 4} \right),{M_2}\left( { - \frac{{20}}{3};4} \right),{M_3}\left( { - \frac{{20}}{3}; - 4} \right)\) thuộc (H)
Bước 3: Vẽ đường hypebol (H) bên ngoài hình chữ nhật cơ sở, nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm \({A_1}\left( { - 4;0} \right)\) và điểm \({M_2},{M_3}\); nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm \({A_2}\left( {4;0} \right)\) và điểm \(M,{M_1}\). Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc tọa độ thì càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng và hai trục tọa độ là hai trục đối xứng.
