Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ${S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}$ và ${T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}$, với $n \in \mathbb{N}*$

a) So sánh ${S_1}$ và ${T_1}$; ${S_2}$ và ${T_2}$;${S_3}$ và ${T_3}$.

b) Dự đoán công thức tính ${S_n}$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) ${S_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$; ${T_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{3}{2}$

Do đó ${S_1} = {T_1}$

${S_2} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}$; ${T_2} = 2 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{7}{4}$

Do đó ${S_2} = {T_2}$

${S_3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}$; ${T_3} = 2 - \frac{1}{{{2^3}}} = \frac{{15}}{8}$

Do đó ${S_3} = {T_3}$

b) Dự doán: ${S_n} = {T_n}$ từ đó có công thức tính ${S_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}$

Chứng minh:

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${S_1} = 2 - \frac{1}{{{2^1}}}$ đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

${S_{k + 1}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${S_k} = 2 - \frac{1}{{{2^k}}}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = {S_k} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\\ = 2 - \frac{1}{{{2^k}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{2}{{{2^{k + 1}}}} + \frac{1}{{{2^{k + 1}}}} = 2 - \frac{1}{{{2^{k + 1}}}}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.