Giải bài 2 trang 67 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Các đường conic có phương trình như sau là đường elip hay hypebol? Tìm độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó.
Đề bài
Các đường conic có phương trình như sau là đường elip hay hypebol? Tìm độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của các đường conic đó.
a) \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \((0 < b < a)\) . Khi đó ta có;
+ Độ dài trục lớn: \(2a\), độ dài trục nhỏ: \(2b\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} \)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)
Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:
+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
+ Tâm sai \(e = \frac{c}{a}\)
Lời giải chi tiết
a) \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
Đây là đường elip. Ta có: \(a = 10,b = 8\)
+ Độ dài trục lớn: \(2a = 2.10 = 20\), độ dài trục nhỏ: \(2b = 2.8 = 16\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} - {b^2}} = 2\sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 2.6 = 12\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( - 6;0),{F_2}(6;0)\)
+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{6}{{10}} = 0,6\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)
Đây là đường hypebol. Ta có: \(a = 6,b = 8\)
+ Độ dài trục thực: \(2a = 2.6 = 12\), độ dài trục ảo: \(2b = 2.8 = 16\)
+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 2\sqrt {{6^2} + {8^2}} = 2.10 = 20\)
+ Tiêu điểm \({F_1}( - 10;0),{F_2}(10;0)\)
+ Tâm sai \(e = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\)