Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho ${S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}$ với $n \in \mathbb{N}*$

a) Tính ${S_1}$; ${S_2}$;${S_3}$; ${S_4}$.

b) Dự đoán công thức tính ${S_n}$ và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a) $n = 1 \Rightarrow 4n - 3 = 1;4n + 1 = 5 \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{1.5}} = \frac{1}{5}$;

${S_2} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} = \frac{2}{9}$;

${S_3} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} = \frac{3}{{13}}$;

b) Ta có:

${S_1} = \frac{1}{5} = \frac{1}{{4.1 + 1}};$${S_2} = \frac{2}{{4.2 + 1}};$${S_3} = \frac{3}{{4.3 + 1}};$

Dự doán: ${S_n} = \frac{n}{{4.n + 1}}$

Chứng minh:

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có ${S_1} = \frac{1}{{4.1 + 1}}$ đúng

Như vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

${S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4.(k + 1) + 1}}$ hay ${S_{k + 1}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${S_k} = \frac{k}{{4.k + 1}}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4k - 3)(4k + 1)}} + \frac{1}{{[4(k + 1) - 3][4(k + 1) + 1]}}\\ = {S_k} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{k}{{4k + 1}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{k(4k + 5)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} + \frac{1}{{(4k + 1)(4k + 5)}}\\ = \frac{{4{k^2} + 5k + 1}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{(4k + 1)(k + 1)}}{{(4k + 1)(4k + 5)}} = \frac{{k + 1}}{{4k + 5}}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.