Giải bài 10 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Giả sử cho hai n-giác đều  và ${B_1}{B_2} \ldots {B_n}$ có tâm lần lượt là O và O'. Đặt $k = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{O'{B_1}}}{{O{A_1}}}$ . Gọi V là phép vị tự tâm O, tỉ số k và ${C_1}{C_2} \ldots {C_n}$  là ảnh của đa giác ${A_1}{A_2}...{A_n}$ qua phép vị tự V. Hiển nhiên ${C_1}{C_2} \ldots {C_n}$ cũng là đa giác đều và vì $\frac{{{C_1}{C_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = k$ nên ${C_1}{C_2}\; = {\rm{ }}{B_1}{B_2}$. Vậy hai n-giác đều ${C_1}{C_2} \ldots {C_n}$ và ${B_1}{B_2} \ldots {B_n}$ có cạnh bằng nhau, tức là có phép dời hình D biến ${C_1}{C_2} \ldots {C_n}$ thành ${B_1}{B_2} \ldots {B_n}$. Nếu gọi F là phép hợp thành của V và D thì F là phép đồng đạng biến ${A_1}{A_2} \ldots {A_n}\;$  thành ${B_1}{B_2} \ldots {B_n}$. Vậy hai đa giác đều đó đồng dạng với nhau.