Giải bài 8 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
Cho hai đường tròn (O1; R) và (O2; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A.
Đề bài
Cho hai đường tròn (O 1 ; R) và (O 2 ; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Tìm phép vị tự biến đường tròn (O 1 ; R) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R).\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k \(\left( {k \ne 0} \right)\) lần lượt biến 2 điểm A, B thành 2 điểm A’, B’ thì \(A'B' = \left| k \right|AB\)
- Phép vị tự biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R' = |k|R và có tâm là ảnh của tâm.
Lời giải chi tiết
Hai đường tròn (O 1 ; R) và (O 2 ; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và đường tròn tâm O 2 có bán kính gấp 2 lần đường tròn tâm O 1 .
- Trên đường tròn \(({O_1};{\rm{ }}R)\) lấy điểm B bất kì.
- Trên đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R)\) dựng đường kính CD // O 1 B.
- BC cắt O 1 O 2 tại E.
+) Ta có: O 1 B // CO 2 nên theo định lí Thales có \(\frac{{E{O_2}}}{{E{O_1}}} = \frac{{{O_2}C}}{{{O_1}B}} = \frac{{2R}}{R} = 2\).
Suy ra \(\overrightarrow {E{O_2}} = 2\overrightarrow {E{O_1}} \) nên ta có phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến điểm O 1 thành điểm O 2 .
Như vậy, phép vị tự tâm E, tỉ số 2 biến đường tròn \(({O_1};{\rm{ }}R)\) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R).\)
+) Nối B với D, ta chứng minh được BD cắt O 1 O 2 tại điểm tiếp xúc A của hai đường tròn.
Ta có: \(\frac{{A{O_2}}}{{A{O_1}}} = \frac{{2R}}{R} = 2\) và A nằm giữa hai điểm O 1 và O 2 nên \(\overrightarrow {A{O_2}} = - 2\overrightarrow {A{O_1}} \). Do đó, ta có phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến điểm O 1 thành điểm O 2 .
Như vậy, phép vị tự tâm A, tỉ số – 2 biến đường tròn (O 1 ; R) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R)\).
Vậy có 2 phép vị tự biến đường tròn \(({O_1};{\rm{ }}R)\) thành đường tròn \(({O_2};{\rm{ }}2R)\).