Giải bài 10 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
a) EF=AH
b) AM⊥EF
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu: tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật, từ đó suy ra EF=AH
b) Chứng minh ^MAB+^DEA=900 để suy ra AM⊥EF
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên ^BAC=900
Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên HE⊥AB,HF⊥AC
Do đó, ^HEB=^HEA=^HFA=^HFC=900
Tứ giác AFHE có: ^BAC=^HEA=^HFA=900 nên tứ giác AFHE là hình chữ nhật. Do đó, AH=FE
b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên ^FHE=900
Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên AM=MB=MC=12BC
Tam giác AMB có: AM=MB nên tam giác AMB cân tại M. Do đó, ^MAB=ˆB
Lại có: ˆB=^DHE(=900−^HEB) nên ^MAB=^DHE (1)
Gọi D là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE. Do đó, DH=DE=DF=DA
Tam giác DAE có: DA=DE nên tam giác DAE cân tại D, suy ra ^DAE=^DEA
Mà AE//FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên ^DHF=^DAE (so le trong)
Do đó, ^DEA=^DHF (2)
Lại có: ^DHF+^DHE=^FHE=900 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: ^MAB+^DEA=900 . Suy ra: AM⊥EF