Giải bài 11 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Tính:

a)    $A = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{7\pi }}{8}$

b)    $B = \sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{2\pi }}{5} + ... + \sin \frac{{9\pi }}{5}$ (có 9 số hạng)

c)     $C = \tan {1^o}{\rm{ }}.{\rm{ }}\tan {2^o}{\rm{ }}.{\rm{ }}\tan {3^o}.{\rm{ }}...{\rm{ }}{\rm{. }}\tan {89^o}$ (gồm 89 thừa số)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\cos \left( {\frac{{7\pi }}{8}} \right) = \cos \left( {\pi  - \frac{\pi }{8}} \right) =  - \cos \frac{\pi }{8}$

$\cos \left( {\frac{{5\pi }}{8}} \right) = \cos \left( {\pi  - \frac{{3\pi }}{8}} \right) =  - \cos \frac{{3\pi }}{8}$

$\Rightarrow A = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{7\pi }}{8}$

$= {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{\pi }{8} = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\cos }^2}\frac{{3\pi }}{8}} \right)$

Mặt khác, vì $\cos \frac{{3\pi }}{8} = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = \sin \frac{\pi }{8}$

Từ đó $A = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\sin }^2}\frac{\pi }{8}} \right) = 2$.

b) Ta có: $\sin \frac{{9\pi }}{5} = \sin \left( { - \frac{\pi }{5} + 2\pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) =  - \sin \frac{\pi }{5} \Rightarrow \sin \frac{{9\pi }}{5} + \sin \frac{\pi }{5} = 0$

Tương tự ta có $\sin \frac{{8\pi }}{5} + \sin \frac{{2\pi }}{5} = 0$, $\sin \frac{{7\pi }}{5} + \sin \frac{{3\pi }}{5} = 0$, $\sin \frac{{6\pi }}{5} + \sin \frac{{4\pi }}{5} = 0$

Như vậy $B = 0 + 0 + 0 + 0 + \sin \frac{{5\pi }}{5} = \sin \pi  = 0$

c) Ta có $\tan {89^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{89}^o}} \right) = \cot {1^o}$, $\tan {88^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{88}^o}} \right) = \cot {2^o}$,…

$\tan {46^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{46}^o}} \right) = \cot {44^o}$.

Do đó $C = \left( {\tan {1^o}.\tan {{89}^o}} \right)\left( {\tan {2^o}.\tan {{88}^o}} \right)...\left( {\tan {{44}^o}.\tan {{46}^o}} \right)\tan {45^o}$

$= \left( {\tan {1^o}.\cot {1^o}} \right)\left( {\tan {2^o}.\cot {2^o}} \right)...\left( {\tan {{44}^o}.\cot {{44}^o}} \right).1 = 1$