Giải bài 14 trang 73 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ (AX bot BC) và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD sao cho (DH = DX). Cho BH cắt AC tại E và CH cắt AB tại F. a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ AX⊥BC và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD sao cho DH=DX. Cho BH cắt AC tại E và CH cắt AB tại F.
a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) + Chứng minh ΔBDH=ΔBDX(c.g.c)nên ^HBD=^DBX.
+ Mà ^CBX=^CAX nên ^HBD=^CAX=90o−^ACB.
+ Chứng minh ^BEC=90o. Do đó, BE⊥AC.
+ Chứng minh tương tự ta có: CF⊥AB.
+ Do đó, H là trực tâm của tam giác ABC.
b) + Chứng minh tứ giác HDBF nội tiếp đường tròn đường kính BH, suy ra ^HDF=^HBF.
+ Tương tự ta có: ^HDE=^HCE. Mà ^HBF=90o−^BAC=^HCE nên ^HDF=^HBF=^HCE=^HDE, suy ra H nằm trên đường phân giác của góc EDF của tam giác DEF.
+ Tương tự ta có: H nằm trên các đường phân giác của các góc DEF, DFE. Do đó, H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác BDH và tam giác BDX có: BD là cạnh chung, ^BDH=^BDX=90o,DH=DX nên ΔBDH=ΔBDX(c.g.c), suy ra ^HBD=^DBX.
Mặt khác ^CBX=^CAX (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung CX). Do đó, ^HBD=^CAX=90o−^ACB.
Tam giác BEC có: ^BEC=180o−^EBC−^ACB=180o−90o+^ACB−^ACB=90o. Do đó, BE⊥AC.
Chứng minh tương tự ta có: CF⊥AB. Do đó, H là trực tâm của tam giác ABC.
b) Do ^HDB=^HFB=90o nên tứ giác HDBF nội tiếp đường tròn đường kính BH.
Do đó, ^HDF=^HBF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HF của đường tròn đường kính BH).
Tương tự ta có: ^HDE=^HCE.
Mặt khác, ^HBF=90o−^BAC=^HCE.
Do đó, ^HDF=^HBF=^HCE=^HDE. Vậy H nằm trên đường phân giác của góc EDF của tam giác DEF.
Tương tự, H nằm trên các đường phân giác của các góc DEF, DFE. Do đó, H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.