Giải bài 13 trang 73 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2
Đề bài Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi AK là đường kính của (O). Chứng minh rằng: a) (BH = CK,CH = BK); b) (AD.AK = AB.AC).
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Gọi AK là đường kính của (O). Chứng minh rằng:
a) BH=CK,CH=BK;
b) AD.AK=AB.AC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh BH//KC, CH//KB, suy ra BHCK là hình bình hành. Do đó, BH=CK,CH=BK.
b) Chứng minh ΔABD∽, từ đó suy ra AD.AK = AB.AC.
Lời giải chi tiết
a) Xét (O): \widehat {ACK} = \widehat {ABK} = {90^o} (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra: AC \bot CK, AB \bot KB.
Mặt khác, AC \bot BH,AB \bot CH. Do đó, BH//KC, CH//KB.
Suy ra, BHCK là hình bình hành.
Do đó, BH = CK, CH = BK.
b) Hai tam giác ABD và AKC có:
\widehat {ADB} = \widehat {ACK} = {90^o},\widehat {ABD} = \widehat {AKC} (góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung AC).
Suy ra, \Delta ABD\backsim \Delta AKC\left( g.g \right), suy ra \frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{AD}}{{AC}}, do đó AD.AK = AB.AC.