Giải bài 2. 28 trang 27 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Một phân xưởng có hai loại máy chuyên dụng ${M_1}$ và ${M_2}$ để sản xuất hai loại sản phẩm A và B theo đơn đặt hàng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại A thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 2 triệu đồng. Nếu sản xuất được một tấn sản phẩm loại B thì phân xưởng nhận được số tiền lãi là 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại A, người ta phải dùng máy ${M_1}$ trong 3 giờ và máy ${M_2}$ trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại B, người ta phải dùng máy ${M_1}$ trong 1 giờ và máy ${M_2}$ trong 1 giờ. Một máy không thể dùng sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy ${M_1}$ làm việc không quá 6 giờ một ngày và máy ${M_2}$ làm việc không quá 4 giờ một ngày. Hỏi số tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng này có thể thu được trong một ngày là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

• Gọi $x$ và $y$ là số tấn sản phẩm loại A và loại B mà phân xưởng sản xuất được.

Điều kiện: $x \ge 0;\,\,y \ge 0.$

Thời gian máy ${M_1}$ làm việc không quá 6 giờ một ngày là: $3x + y \le 6.$

Thời gian máy ${M_2}$ làm việc không quá 4 giờ một ngày là: $x + y \le 4.$

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}.} \right.$

Số tiền lãi phân xưởng này thu được trong một ngày là: $F\left( {x;y} \right) = 2x + 1,6y \to \max$

• Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}.} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $d:x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $\left( {1;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình ${d_1}:y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}$ chứa điểm $\left( {0;1} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $3x + y \le 6$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}:3x + y = 6$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:x + y = 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 6}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.$ là tứ giác $OABC$ với $A\left( {2;0} \right),$ $B\left( {1;3} \right),\,\,C\left( {0;4} \right).$

• Ta có: $F\left( {2;0} \right) = 2.2 + 1,6.0 = 4;\,\,F\left( {0;0} \right) = 2.0 + 1,6.0 = 0;$

$F\left( {1;3} \right) = 2.1 + 1,6.3 = 6,8;$ $F\left( {0;4} \right) = 2.0 + 1,6.4 = 6,4.$

Vậy số tiền lãi lớn nhất phân xưởng này thu được trong một ngày là: 6,8 triệu đồng.