Giải bài 2 trang 73 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Cho AB và CD là hai dây cung vuông góc tại E của đường tròn (O) .Vẽ hình chữ nhật AECF. Dùng phương pháp tọa độ mặt phẳng để chứng minh E F vuông góc với DB

Lời giải chi tiết

Xét với đường tròn (O) có phương trình $(O):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25$

Cho các điểm $A(0;0),B(0;8),C(8;4),D( - 2;4)$ nằm trên đường tròn (O) và thỏa mãn AB vuông góc với CD

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng $x = 0$

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm C, D có dạng $y = 4$

Ta có AB vuông góc với CD tại điểm E nên tọa độ điểm E là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow E(0;4)$

Gọi tọa độ của điểm F là: $F(x;y)$

ACEF là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {EC}$, mặt khác ta có: $\overrightarrow {AF}  = (x;y),\overrightarrow {EC}  = \left( {8;0} \right)$

Suy ra tọa độ điểm F là: $F\left( {8;0} \right)$

$\overrightarrow {EF}  = \left( {8; - 4} \right),\overrightarrow {DB}  = \left( {2;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {EF} .\overrightarrow {BD}  = 8.2 + \left( { - 4} \right).4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {EF}  \bot \overrightarrow {BD}$

Vậy ta chứng minh được E F vuông góc với DB