Giải bài 21 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích: a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\). b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a < 1\).
Đề bài
Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích:
a) Hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(0 < a < 1\).
b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) khi \(0 < a < 1\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0\) (hoặc \(f'\left( x \right) \le 0\)) với mọi \(x\) thuộc \(K\) và \(f'\left( x \right) = 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm của \(K\) thì hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên \(K\).
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(y = {a^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có: \({y^\prime } = {a^x}.\ln a\)
+ Khi \(a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0 \Leftrightarrow {a^x}.\ln a > 0 \Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+ Khi \(0 < a < 1 \Leftrightarrow \ln a < 0 \Leftrightarrow {a^x}.\ln a < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \({y^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}}\)
+ Khi \(a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x.\ln a}} > 0 \Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Khi \(0 < a < 1 \Leftrightarrow \ln a < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x.\ln a}} < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).