Giải bài 20 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),D\left( {0;b;0} \right),S\left( {0;0;c} \right)$ với $a,b,c$ là các số dương ( Hình 3 ).

a) Tìm toạ độ của điểm $C$, trung điểm $M$ của $BC$, trọng tâm $G$ của tam giác $SCD$.

b) Lập phương trình mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

c) Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Giả sử $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$.

$\overrightarrow {AB}  = \left( {a;0;0} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {{x_C};{y_C} - b;{z_C}} \right)$.

Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$.

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {x_C}\\0 = {y_C} - b\\0 = {z_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = a\\{y_C} = b\\{z_C} = 0\end{array} \right.$. Vậy $C\left( {a;b;0} \right)$.

$M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có: $M\left( {\frac{{a + a}}{2};\frac{{0 + b}}{2};\frac{{0 + 0}}{2}} \right)$ hay $M\left( {a;\frac{b}{2};0} \right)$.

$G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$ nên ta có: $G\left( {\frac{{0 + a + 0}}{3};\frac{{0 + b + b}}{3};\frac{{c + 0 + 0}}{3}} \right)$ hay $G\left( {\frac{a}{3};\frac{{2b}}{3};\frac{c}{3}} \right)$.

b) Phương trình mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$.

c) Khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ bằng:

$\begin{array}{l}d\left( {G,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{\frac{a}{3}}}{a} + \frac{{\frac{{2b}}{3}}}{b} + \frac{{\frac{c}{3}}}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{3\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\\ = \frac{1}{{3\sqrt {\frac{{{b^2}{c^2} + {a^2}{c^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}} }} = \frac{{abc}}{{3\sqrt {{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2}} }}\end{array}$