Giải bài 19 trang 48 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = 2a,AD = 3a,AA' = 4a\left( {a > 0} \right)$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các tia $AB,AD,AA'$ sao cho $AM = a,AN = 2a,AP = 3a$. Tính khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Lời giải chi tiết

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên các đường thẳng $AB,AD,AA'$ đôi một vuông góc. Do đó ta có thể gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ thoả mãn $A\left( {0;0;0} \right),B\left( {2a;0;0} \right),D\left( {0;3{\rm{a}};0} \right),$$A'\left( {0;0;4{\rm{a}}} \right)$.

Khi đó $M\left( {a;0;0} \right),N\left( {0;2{\rm{a}};0} \right),P\left( {0;0;3{\rm{a}}} \right),C'\left( {2{\rm{a}};3{\rm{a}};4{\rm{a}}} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} = 1$ hay $\frac{x}{a} + \frac{y}{{2a}} + \frac{z}{{3a}} - 1 = 0$.

Khi đó khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ bằng:

$d\left( {C',\left( {MNP} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{{2{\rm{a}}}}{a} + \frac{{3{\rm{a}}}}{{2a}} + \frac{{4{\rm{a}}}}{{3a}} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{a}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{3a}}} \right)}^2}} }} = \frac{{\frac{{23}}{6}}}{{\sqrt {\frac{{49}}{{36{a^2}}}} }} = \frac{{23a}}{7}$.