Giải bài 21 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) bằng \(a\sqrt 2 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) là
Đề bài
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SA\) bằng \(a\sqrt 2 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) là
A. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\).
B. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) tại \(O\). Kẻ \(OH \bot SC,H \in SC\).
Chứng minh \(OH\) là đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\)
Tính \(OH\)
Lời giải chi tiết
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right)\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)
Kẻ \(OH \bot SC,H \in SC\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot \left( {SAC} \right)\\OH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot BD\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BD\) và \(SC\) là \(OH\)
Có \(SO \bot AC \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\(OH = \frac{{SO.OC}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Chọn A