Giải bài 22 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(AA'B'C'\) là hình tứ diền đều cạnh bằng \(a\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng
Đề bài
Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) có \(AA'B'C'\) là hình tứ diền đều cạnh bằng \(a\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng
A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \(O\) là tâm đáy\(A'B'C'\),\(O\) là trọng tâm đáy\(A'B'C'\)
Suy \(AO \bot \left( {\;A'B'C'} \right)\)
Tính \(AO,\) diện tích tam giác \(A'B'C'\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng \(V = AO.{S_{A'B'C'}}\)
Lời giải chi tiết
Do tứ diện \(AA'B'C'\) là hình tứ diền đều cạnh bằng \(a\).
Gọi \(O\) là tâm đáy\(A'B'C'\),\(O\) là trọng tâm đáy\(A'B'C'\)
\(A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};A'O = \frac{2}{3}A'M = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Ta có \(AO \bot \left( {\;A'B'C'} \right) \Rightarrow AO = \sqrt {A{{A'}^2} - A'{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Diện tích tam giác \(A'B'C':S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng \(V = AO.{S_{A'B'C'}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\)
Chọn B