Giải bài 25 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho \({\rm{sin}}x = - \frac{1}{3},x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Tính giá trị \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Đề bài
Cho \({\rm{sin}}x = - \frac{1}{3},x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\). Tính giá trị \({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét dấu \(\cos x\) khi \(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Thay vào đẳng thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) ta tìm được \(\cos x\)
Áp dụng công thức cộng
\(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b\)
Lời giải chi tiết
\(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \cos x < 0 \Rightarrow \cos x = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
Ta tính được: \({\rm{cos}}x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Khi đó:\({\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}{\rm{cos}}2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{sin}}2x = \frac{1}{2}\left( {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) + \sqrt 3 {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \frac{{7 + 4\sqrt 6 }}{{18}}\).