Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

SBT Toán 11 - Giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 11 KNTT


Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giả sử \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \({u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}\).

Đề bài

Giả sử \({u_n}\) là số hạng thứ \(n\) của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \({u_n} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^n} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }}\).

a) Chứng tỏ rằng \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = {u_{n + 1}} + {u_n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Từ đó suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) đầu tiên.

Tinh \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a)                 Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

Áp dụng hằng đẳng thức \({a^{n + 2}} - {b^{n + 2}} = \left( {{a^{n + 1}} - {b^{n + 1}}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {{a^n} - {b^n}} \right)\)

Ta có \({u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b)                Lập bảng

\(n\)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

\({u_n}\)

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

Thay

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

Lời giải chi tiết

. a) Ta có \({u_1} = 1,{u_2} = 1\) và \({u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5  + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}\)

\( = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}\).

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số Fibonacci.

b)

\(n\)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

\({u_n}\)

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\)

1

2

1,5

\(\frac{5}{3}\)

\(\frac{8}{5}\)

\(\frac{{13}}{8}\)

\(\frac{{21}}{{13}}\)

\(\frac{{34}}{{21}}\)

\(\frac{{55}}{{34}}\)

\(\frac{{89}}{{55}}\)

\(\frac{{144}}{{89}}\)

Ta có:

(do \(\left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right| < 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)^n} = 0\) ).


Cùng chủ đề:

Giải bài 23 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 24 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 25 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 26 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 27 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 30 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 31 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 32 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 33 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giải bài 34 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống