Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un) và un=(1+√5)n−(1−√5)n2n√5.
Đề bài
Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un) và un=(1+√5)n−(1−√5)n2n√5.
a) Chứng tỏ rằng u1=1,u2=1 và un+2=un+1+un với mọi n∈N∗.
Từ đó suy ra (un) là dãy số Fibonacci.
b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số un+1un đầu tiên.
Tinh lim
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Ta có {u_1} = 1,{u_2} = 1 và {u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
Áp dụng hằng đẳng thức {a^{n + 2}} - {b^{n + 2}} = \left( {{a^{n + 1}} - {b^{n + 1}}} \right)\left( {a + b} \right) - ab\left( {{a^n} - {b^n}} \right)
Ta có {u_{n + 2}} = \frac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}} - {{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
= \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}.
Vậy \left( {{u_n}} \right) là dãy số Fibonacci.
b) Lập bảng
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
{u_n} |
|||||||||||
|
\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} |
Thay
Tính \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}
Lời giải chi tiết
. a) Ta có {u_1} = 1,{u_2} = 1 và {u_{n + 2}} = \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 2}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 2}}}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right]\left[ {1 + \sqrt 5 + 1 - \sqrt 5 } \right] - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
= \frac{{\left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}} \right] \cdot 2 + 4 \cdot \left[ {{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}} \right]}}{{{2^{n + 2}}\sqrt 5 }}
= \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^{n + 1}} - {{(1 - \sqrt 5 )}^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}\sqrt 5 }} + \frac{{{{(1 + \sqrt 5 )}^n} - {{(1 - \sqrt 5 )}^n}}}{{{2^n}\sqrt 5 }} = {u_{n + 1}} + {u_n}.
Vậy \left( {{u_n}} \right) là dãy số Fibonacci.
b)
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
{u_n} |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
|
\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} |
1 |
2 |
1,5 |
\frac{5}{3} |
\frac{8}{5} |
\frac{{13}}{8} |
\frac{{21}}{{13}} |
\frac{{34}}{{21}} |
\frac{{55}}{{34}} |
\frac{{89}}{{55}} |
\frac{{144}}{{89}} |
Ta có:
(do \left| {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right| < 1 nên \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{{1 + \sqrt 5 }}} \right)^n} = 0 ).