Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).
Đề bài
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:
a) \(y = x.{e^x}\); b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}\);
c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\); d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\).
Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( {x.{e^x}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }.{e^x} + x.{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\)
\(y' = 0\) khi \(x = - 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), hàm số không có cực đại.
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{y^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}.{e^{ - x}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }.{e^{ - x}} + {\left( {x + 1} \right)^2}.{\left( {{e^{ - x}}} \right)^\prime }\\ & = 2\left( {x + 1} \right){e^{ - x}} - {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}} = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\end{array}\)
\(y' = 0\) khi \(x = - 1\) hoặc \(x = 1\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) và đạt cực đại tại \(x = 1\).
c) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( {{x^2}.\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\ln {\rm{x}} + {x^2}.\frac{1}{x} = x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right)\)
\(y' = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\), hàm số không có cực đại.
d) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
\({y^\prime } = {\left( {\frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{x^\prime }.\ln x - x.{{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)}^\prime }}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - x.\frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - 1}}{{{{\ln }^2}x}}\)
\(y' = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} = 1 \Leftrightarrow x = e\).
Bảng biến thiên của hàm số:
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e\), hàm số không có cực đại.