Giải bài 24 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức:

\(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\)

trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây \(\left( {t \ge 0} \right)\) ( Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014 ). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\(N'\left( t \right) = \frac{{{{\left( {100t} \right)}^\prime }\left( {100 + {t^2}} \right) - \left( {100t} \right){{\left( {100 + {t^2}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{100\left( {100 + {t^2}} \right) - \left( {100t} \right).2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}} = \frac{{ - 100{t^2} + 10000}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}\)

\(N'\left( t \right) = 0\) khi  hoặc \(t = 10\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;10} \right)\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên.