Giải bài 24 trang 32 SBT toán 10 - Cánh diều
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge - 2}\\{x + y \le 4}\\{x - 5y \le - 2}\end{array}} \right.\)
Đề bài
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge - 2}\\{x + y \le 4}\\{x - 5y \le - 2}\end{array}} \right.\)
A. -5 B. -7 C. 1 D. 4
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ tọa độ
Biểu thức F(x;y) đạt max hoặc min chỉ tại một trong các điểm đầu mút nên ta chỉ cần tính giá trị của F(x;y) tại một trong các điểm đó
Lời giải chi tiết
Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình như sau:
- Vẽ ba đường thẳng:
Đường thẳng d1: x – y = – 2 đi qua các điểm có tọa độ (– 2; 0) và (0; 2).
Đường thẳng d2: x + y = 4 đi qua điểm có tọa độ (4; 0) và (0; 4).
Đường thẳng d3: x – 5y = – 2 đi qua các điểm có tọa độ (– 2; 0) và (3; 1).
Điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm của BPT \(x - y \ge - 2\) và BPT \(x + y \le 4\), nhưng không thuộc miền nghiệm của BPT \(x - 5y \le - 2\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh) với
A(-2; 0), B(1; 3) và C(3; 1) như hình vẽ sau:
Tính giá trị biểu thức F = -2x+y tại các đỉnh của tam giác:
Tại A(– 2; 0), hay x = – 2 và y = 0 thì F = – 2.(– 2) + 0 = 4;
Tại B(1; 3), hay x = 1 và y = 3 thì F = – 2.1 + 3 = 1;
Tại C(3; 1), hay x = 3 và y = 1 thì F = – 2.3 + 1 = – 5;
=> F đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 5 tại x = 3, y = 1.
Chọn A