Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \le k \le n$

b) $\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}$ với $0 \le k \le n$

Lời giải chi tiết

a) Với $1 \le k \le n$,  biến đổi vế phải ta có:

VP = $nC_{n - 1}^{k - 1} = \frac{{n(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left[ {(n - 1) - (k - 1)} \right]!}}$$= \frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{\frac{{k!}}{k}(n - k)!}}$$= k\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}$ $= kC_n^k$ = VT (ĐPCM)

b) Với $0 \le k \le n$,  biến đổi vế phải ta có:

VP = $\frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!}}$$= \frac{{(n + 1).n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k)!}}$

$= \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n - k)!}} = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}$ $= \frac{1}{{k + 1}}C_n^k$ = VT (ĐPCM)