Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều — Không quảng cáo

SBT Toán 10 - Giải SBT Toán 10 - Cánh diều Bài 3. Tổ hợp - SBT Toán 10 CD


Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều

Chứng minh rằng: a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với \(1 \le k \le n\) b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với \(1 \le k \le n\)

b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên

Một số công thức áp dụng: \(n(n - 1)! = n!,k(k - 1)! = k!\)

Lời giải chi tiết

a) Với \(1 \le k \le n\),  biến đổi vế phải ta có:

VP = \(nC_{n - 1}^{k - 1} = \frac{{n(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left[ {(n - 1) - (k - 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{\frac{{k!}}{k}(n - k)!}}\)\( = k\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) \( = kC_n^k\) = VT (ĐPCM)

b) Với \(0 \le k \le n\),  biến đổi vế phải ta có:

VP = \(\frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{(n + 1).n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k)!}}\)

\( = \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n - k)!}} = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) \( = \frac{1}{{k + 1}}C_n^k\) = VT (ĐPCM)


Cùng chủ đề:

Giải bài 26 trang 32 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 26 trang 43 sách bài tập toán 10 - Cánh diều
Giải bài 26 trang 52 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 26 trang 73 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 26 trang 85 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 14 sách bài tập toán 10 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 32 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 47 sách bài tập toán 10 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 52 SBT toán 10 - Cánh diều
Giải bài 27 trang 73 SBT toán 10 - Cánh diều