Giải bài 27 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, $AB \bot BC$, $SA = AB = 3a$, $BC = 4a$. Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lần lượt là số đo của các góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$, $\left[ {A,BC,S} \right]$, $\left[ {A,SC,B} \right]$. Tính

a) $\cos \alpha$, $\cos \beta$.

b*) $\cos \gamma$.

Lời giải chi tiết

a) Do $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên ta suy ra $SA \bot AB$, $SA \bot AC$ và $SA \bot BC$. Suy ra $\widehat {BAC}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {B,SA,C} \right]$, tức là $\alpha  = \widehat {BAC}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, nên $AC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 5a$.

Như vậy $\cos \alpha  = \cos \widehat {BAC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{5a}} = \frac{3}{5}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, ta cũng suy ra $BC \bot AB$. Do $SA \bot BC$ nên ta suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$. Điều này dẫn tới $BC \bot SB$.

Vì $BC \bot SB$, $BC \bot AB$ nên góc $\widehat {SBA}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$, tức là $\beta  = \widehat {SBA}$.

Tam giác $SBA$ vuông tại $A$, nên $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 a$.

Như vậy $\cos \beta  = \cos \widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{{3a}}{{3\sqrt 2 a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

b) Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$ và $SC$.

Theo câu a, ta có $BC \bot \left( {SAB} \right)$ nên $BC \bot AH$. Mà ta có $AH \bot SB$ nên suy ra $AH \bot \left( {BSC} \right)$, điều này dẫn tới $AH \bot SC$.

Do $AH \bot SC$, $AK \bot SC$ nên $SC \bot \left( {AHK} \right)$, suy ra $HK \bot SC$.

Như vậy ta có $AK \bot SC$, $HK \bot SC$ nên $\widehat {AKH}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,SC,H} \right]$. Do $H \in \left( {SCB} \right)$ nên góc nhị diện $\left[ {A,SC,H} \right]$ cũng chính là góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$. Do đó, $\widehat {AKH}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$, tức là $\gamma  = \widehat {AKH}$.

Vì $AH \bot \left( {BSC} \right)$ nên $AH \bot HK$, do đó $\cos \widehat {AKH} = \frac{{HK}}{{AK}}$.

Ta có $AH = \frac{{SA.AB}}{{SB}} = \frac{{3a.3a}}{{3\sqrt 2 a}} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{2}$ (do $\Delta SAB$ vuông tại $A$)

Và $AK = \frac{{SA.AC}}{{SC}} = \frac{{3a.5a}}{{\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {5a} \right)}^2}} }} = \frac{{15{a^2}}}{{a\sqrt {34} }} = \frac{{15\sqrt {34} a}}{{34}}$ (do $\Delta SAC$ vuông tại $A$)

Suy ra $HK = \sqrt {A{K^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{15a\sqrt {34} }}{{34}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{6a\sqrt {17} }}{{17}}$.

Do đó, $\cos \gamma  = \cos \widehat {AKH} = \frac{{HK}}{{AK}} = \frac{{\frac{{6a\sqrt {17} }}{{17}}}}{{\frac{{15a\sqrt {34} }}{{34}}}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{5}$.