Giải bài 28 trang 16 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho $\cos \left( {a + 2b} \right) = 2\cos a$. Chứng minh rằng $\tan \left( {a + b} \right)\tan b = \frac{{ - 1}}{3}$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\cos \left( {a + 2b} \right) = 2\cos a \Leftrightarrow \cos \left[ {\left( {a + b} \right) + b} \right] = 2\cos \left[ {\left( {a + b} \right) - b} \right]$

$\Leftrightarrow \cos \left( {a + b} \right)\cos b - \sin \left( {a + b} \right)\sin b = 2\left[ {\cos \left( {a + b} \right)\cos b + \sin \left( {a + b} \right)\sin b} \right]$

$\Leftrightarrow  - 2\sin \left( {a + b} \right)\sin b - \sin \left( {a + b} \right)\sin b = 2\cos \left( {a + b} \right)\cos b - \cos \left( {a + b} \right)\cos b$

$\Leftrightarrow  - 3\sin \left( {a + b} \right)\sin b = \cos \left( {a + b} \right)\cos b \Leftrightarrow \frac{{\sin \left( {a + b} \right)\sin b}}{{\cos \left( {a + b} \right)\cos b}} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \tan \left( {a + b} \right)\tan b = \frac{{ - 1}}{3}$