Giải bài 28 trang 114 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho lục giác đều ABCDEF. Về phía ngoài lục giác dựng các hình vuông BAA1A2, CBA3A4, DCA5A6, EDA7A8, FEA9A10, AFA11A12. Đa giác A1A2A3…A11A12 có phải là đa giác đều không? Vì sao?
Đề bài
Cho lục giác đều ABCDEF. Về phía ngoài lục giác dựng các hình vuông BAA 1 A 2 , CBA 3 A 4 , DCA 5 A 6 , EDA 7 A 8 , FEA 9 A 10 , AFA 11 A 12 . Đa giác A 1 A 2 A 3 …A 11 A 12 có phải là đa giác đều không? Vì sao?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Vì ABCDEF là lục giác đều nên nó có tất các cạnh bằng nhau và tất cả các góc đều bằng \(\frac{{{{2.360}^o}}}{6} = {120^o}\).
Ta có \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{A_2}} + \widehat {{A_2}B{A_3}} + \widehat {CB{A_3}} = {360^o}\).
Suy ra:
\(\widehat {{A_2}B{A_3}} = {360^o} - \widehat {ABC} - \widehat {AB{A_2}} - \widehat {CB{A_3}}\)
\(= {360^o} - {120^o} - {90^o} - {90^o} = {60^o}\).
Do BA 2 = AB (do BAA 1 A 2 là hình vuông) ; BA 3 = BC (do CBA 3 A 4 ) và AB = CD nên BA 2 = BA 3 .
Do đó BA 2 A 3 là tam giác đều.
Từ đó suy ra: A 2 A 3 = BA 2 và \(\widehat {B{A_2}{A_3}} = {60^o}\).
Do đó A 2 A 3 = BA (cùng bằng BA 2 ) và \(\widehat {{A_1}{A_2}{A_3}} = \widehat {{A_1}{A_2}B} + \widehat {B{A_2}{A_3}} = {90^o} + {60^o} = {150^o}\).
Tương tự, ta chứng minh được đa giác A 1 A 2 A 3 …A 11 A 12 có các góc đều bằng 150° và các cạnh đều bằng nhau và bằng BA.
Do đó, đa giác A 1 A 2 A 3 …A 11 A 12 là đa giác đều.