Giải bài 28 trang 92 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh: a) F, E, K thẳng hàng b) K, N, M thẳng hàng.
Đề bài
Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:
a) F, E, K thẳng hàng
b) K, N, M thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh ^AEF=^KEC=^KIC suy ra F, E, K thẳng hàng.
Chứng minh ^KMC=^NMC suy ra K, N, M thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Gọi J là trung điểm của IC. Do ICE và ICK là các tam giác vuông lần lượt tại E và K nên JI = JC = JE = JK do tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.
Suy ra ^KEC=^KIC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC của đường tròn đường kính IC).
Lại có ^AEF=90o−ˆA2 và ^KIC=ˆB+ˆC2=90o−ˆA2.
Suy ra ^AEF=^KEC=^KIC. Vì vậy F, E, K thẳng hàng.
b) Tam giác MKB cân ở M suy ra ^KMC=2.^ABC2=^ABC. Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên ^NMC=^ABC (hai góc đồng vị).
Suy ra ^KMC=^NMC. Vì vậy K, N, M thẳng hàng.