Giải bài 29 trang 16 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

a)    $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A{\rm{ }}{\rm{. }}\tan B{\rm{ }}{\rm{. }}\tan C$

(với điều kiện tam giác $ABC$ không vuông)

b)    $\tan \frac{A}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{A}{2} = 1$

Lời giải chi tiết

Trong tam giác $ABC$, ta có $A + B + C = \pi$.

a) Do $A + B + C = \pi  \Rightarrow A + B = \pi  - C \Rightarrow \tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi  - C} \right)$

Vì $\tan \left( {A + B} \right) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A\tan B}}$, $\tan \left( {\pi  - C} \right) = \tan \left( { - C} \right) =  - \tan C$, nên:

$\tan \left( {A + B} \right) = \tan \left( {\pi  - C} \right) \Rightarrow \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A\tan B}} =  - \tan C$

$\Rightarrow \tan A + \tan B =  - \left( {1 - \tan A\tan B} \right)\tan C$

$\Rightarrow \tan A + \tan B =  - \tan C + \tan A\tan B\tan C \Rightarrow \tan A + \tan B + \tan C = \tan A\tan B\tan C$

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có:

$A + B + C = \pi  \Rightarrow \frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} \Rightarrow \frac{{A + B}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{C}{2} \Rightarrow \tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right)$Do $\tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}}$ và $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) = \cot \frac{C}{2} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}$, nên:

$\tan \left( {\frac{A}{2} + \frac{B}{2}} \right) = \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{C}{2}} \right) \Rightarrow \frac{{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}}{{1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}}} = \frac{1}{{\tan \frac{C}{2}}}$

$\Rightarrow \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}} \right)\tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \Rightarrow \tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2} = 1$

Bài toán được chứng minh.