Giải bài 3. 16 trang 44 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

b) $M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}$ và $M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}$

c) $M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}$

$\Rightarrow \cos \widehat {AMB} =  - \cos \widehat {AMC}$

Hay $\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0$

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}$

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}$

c) Từ (1), suy ra $M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;$

Từ (2), suy ra $M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;$

Cộng vế với vế ta được:

$2M{A^2} = \left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;$

$\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}$

Mà: $MB = MC = \frac{{BC}}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}$

$\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)$

$\Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}$ (đpcm)

Cách 2:

Theo ý a, ta có: $\cos \widehat {AMC} =  - \cos \widehat {AMB}$

Từ đẳng thức (1): suy ra $\cos \widehat {AMB} = \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}$

$\Rightarrow \cos \widehat {AMC} =  - \cos \widehat {AMB} =  - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}$

Thế $\cos \widehat {AMC}$vào biểu thức (2), ta được:

$M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)$

Lại có: $MB = MC = \frac{{BC}}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = 2MA.MB.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} =  - \left( {M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} + M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{B^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} - A{B^2} - A{C^2} + {\frac{{BC}}{2}^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}$