Giải bài 3. 3 trang 32 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là ${P_{ABCD}}\; = AB + BC + CD + DA$.

a) Trong $\Delta ABC$ có $AC < AB + BC$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong $\Delta ACD$ có $AC < CD + DA$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó $AC + AC < AB + BC + \;CD + DA$ hay $2AC < {P_{ABCD}}\;$ (1)

Tương tự, trong $\Delta ABD$ có $BD < AD + AB$

Trong $\Delta BCD$ có: $BD < CD + BC$

Do đó  $BD + BD < AD + AB + CD + BC$ hay $2BD < {P_{ABCD}}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2\left( {AC + BD} \right) < 2{P_{ABCD}}$, do đó $AC + BD < {P_{ABCD}}$.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong $\Delta OAB$ có $OA + OB > AB$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong $\Delta OCD$ có $OC + OD > CD$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên $AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD$.

Trong $\Delta OAD$ có $OA + OD > AD$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong $\Delta OBC$ có $OB + OC > BC$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên $AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC$.

Vậy $2\left( {AC + BD} \right) > AB + BC + CD + DA = {P_{ABCD}}$

Tức là $AC + BD\; > \frac{1}{2}{P_{ABCD}}$ (đpcm).